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<<上一篇 偶然与必然中的哲学与科学

做事情切忌半途而废，今天开始继续完成这篇宏大的《美妙的六度分隔理论》系列中的第三篇。

上一篇中我们谈到了“生命的进程就是生物个体不断地在各种偶然的情况下作出必然的决定”。每个人都在时时刻刻地做着各种各样的决定：下一秒钟我该歇歇出去喝杯水再回书房来写这篇文章，下一分钟我该去网站上看看有没有新的噪音，下一小时我该去洗漱睡觉；对于国家而言，更是时时刻刻在做着关系到民族兴衰的种种决策：三十年前我们决定要搞改革开放，十年前我们要搞经济软着陆，而今天我们要用宽松的货币政策度过金融海啸（虽然这其实只是用泡沫来支撑泡沫的下下策，不过这篇文章中不谈经济）。

认识一下数学期望

读者可能会问，把一个普通黎民百姓的生活琐事和国家大策相提并论，一个是拍着脑门子下意识做决定，一个是汇集了全国的精英们用各种数字和计算来做决策，这能同日而语吗？能，当然能！在上篇中，我们曾经提到数学期望其实是平均值的升级版，其实任何决策的本质都一样——不论个人、集体还是国家，决策者总是选择实施那件对决策者自身来说数学期望最高的事情。通俗的说，数学期望就是决策者即将做的事情将会产生的所有后果事件为他带来的效益的平均值。

正态分布曲线 (via Mathematics in Trading: How to Estimate Trade Results)

先简单从数学角度来说说概率与期望。上图展示了一种自然界中最常见的随机现象——正态分布（什么是正态分布？）。其中纵轴为事件发生概率，横轴为事件产生的效益。从图中我们可以看出，某一个决策所能产生的全部事件概率之和为应该1，即100%。而该决策的数学期望为曲线与横轴包围的面积，可以看出在0刻度的左右两边是面积相等的正负两部分，所以我们不需要高等数学知识也可以得出此正态分布的数学期望为0。

这印证了上篇中我们讨论的偶然与必然的关系，偶然表现在，某决策的后果事件可能落在包含整个实数域的整条横轴上，但是越往两头的事件发生的概率越低（+4和-4以外可以称之为几乎不可能发生的小概率事件区域），必然表现在效益为0的事件有40%的发生概率（图中曲线顶点处），这个值也和该正态分布的数学期望0相吻合。如果把数学期望等同于必然，那么我们可以说，任何事情总是尽可能地朝着必然的方向去发展，但是不排除小概率偶然事件发生的可能性。我想，未雨绸缪、防患于未然，这些成语的科学根据就来自这里吧。

前一小段似乎太学术了，接下来Tim将会用生活中例子，让您理解生活中数学期望。比如说，我现在渴了但是又想继续写文章，那么我需要在去喝水和继续写文章之间做个决断。关于是否去喝水这个决策我们用快乐指数（满分100分，最低0分）来衡量它的后果事件的效益。

首先来看看去喝水所产生的各个结果的快乐指数

喝下一杯水后无外乎两种结果：

1. 不渴了——感到不渴了的概率是60%，快乐指数80，因为没能继续写文章，减掉20分；
2. 仍然有点渴——概率40%，快乐指数0，因为又没解渴，又没能继续写文章，我很郁闷。

那么数学期望是怎么计算的呢，来看下面这个很好理解的公式：

做某件事情的数学期望 = 后果1的效益 × 后果1的发生概率 + 后果2的效益 × 后果2的发生概率 + … + 后果n的效益 × 后果n的发生概率

下面我们用这个公式来计算去喝水所能带来的快乐的数学期望 Happy Drinking ：

Happy Drinking = 80 × 60% + 0 × 40% = 48

接下来我们看看继续写文章带来快乐指数的数学期望

1. 情绪高涨——继续写文章让我兴致勃勃，完全忘了口渴之事的概率是40%，快乐指数90，因为虽然没感到口渴，但还是对身体不好的，减掉10分；
2. 奄奄一息——口渴着继续写作让我身体透支的概率是60%，快乐指数10，因为虽然透支了，至少还是写了几行字，给个10分吧。

Happy Writing = 90 × 40% + 10 × 60% = 42

现在大家看到了，Happy Drinking 比 Happy Writing 高了6分，所以我立刻决定去喝水。

…………五分钟后，Tim回来了。您可以看到仅仅6分的微小差距，就促使我在刚刚的五分钟内选择了喝水而放弃了写作。我想这大概可以形容为"失之毫厘，差之千里"吧，没想到千年前的中国成语里就蕴涵了现代科学的理论。所以说作为一个炎黄子孙，理应为中华民族感到自豪，但是千万不要把这种情绪变成盲目骄傲自满，否则1840年的那场"用中国的矛，戳穿了中国的盾"的民族耻辱将会再次上演。

言归正传，可能读者您仍然觉得很纳闷儿，什么快乐指数，什么发生概率，那不都是你自己定的，这还能叫数学吗？我在这里想说的就是，数学只能给予我们公式，但是公式里的参数是需要我们自己去填补的。这就能解释为什么在同样的情况下，不同的人会作出不同的决策了，因为每个人的性格和阅历都是各异的，虽然用同一个数学期望的公式来计算，读者您用自己的数据代进去，那么说不定去喝水就是42分，继续写作就是48分，那您就会作出继续写作的决策。

彩票的阴谋

要体现出数学的魅力，那我们就再举出一个生活中再平常不过的彩票的列子吧，当然仍然和数学期望有关。

眼花缭乱的数字之后有着怎样的阴谋？(via Google Image Search)

首先为了简化问题，假设我们嘻来嚷往站今天开始发行“嘻嚷”福利彩票，本彩票单注售价2 RMB，设置五个奖项，并且控制了每个奖项的中奖率如下：

• 你娃今天被鸟粪击中奖：奖金10000 RMB，中奖率0.01%
• 你娃今天踩狗屎奖：奖金1000 RMB、中奖率0.02%
• 你娃今天鸿运当头奖：奖金100 RMB、中奖率0.03%
• 你娃今天手气不赖奖：奖金1000 RMB、中奖率0.04%
• 你娃今天无私奉献奖：奖金0 RMB、中奖率99.9%

好的，现在有一位资深彩民Who走了过来，这是一位乐观的彩民，根据他多年的博彩经验，他估计到“嘻嚷”福利彩票的中奖率为0.1%、0.3%、0.6%、1%、98%。OK，花2 RMB买彩票的后果事件无外乎就是获得本站事先设定好的五个奖项其中一项的奖金，至于每个后果发生的概率，Who也是心中有数（尽管与本站内部设定的概率稍有出入，也八九不离十了，Who是相当的资深），下面我们来看看Who心中，买一张“嘻嚷”彩票的数学期望吧：

Who的“嘻嚷”彩票的回报预期 = 10000 × 0.1% + 1000 × 0.3% + 100 × 0.6% + 10 × 1% + 0 × 98% – 2 = 11.7

注意，为什么最后要减去2，因为不管你中不中奖，这2 RMB是一定要付出的。Who觉得这个结果不错嘛，每一注"嘻嚷"彩票预期可以为他带来11.7 RMB的收入，于是高高兴兴的买了10注离开。

鉴于我们嘻来嚷往站现在越来越有名气，不一会儿又一位资深彩民When闻讯而来，估计他的博彩生涯没有什么出彩的记录，所以他相当悲观地、并且十分走运地估计到“嘻嚷”福利彩票的中奖率为0.01%、0.02%、0.03%、0.04%、99.9%（这与我们内部控制的中奖率完全吻合）。OK，来看看When心中，对于“嘻嚷”彩票的悲观期望吧：

When的“嘻嚷”彩票的回报预期 = 10000 × 0.01% + 1000 × 0.02% + 100 × 0.03% + 10 × 0.04% + 0 × 99.9% – 2 = -0.766

When非常失望，每注居然预期要倒赔0.766 RMB，太不划算了，于是他认定“嘻嚷”为垃圾彩，转身离开了。

钞票在哪里啊，钞票在哪里？钞票在那成堆的数字里。
那里有奸商啊，那里有黑贩！就不让你轻易地得到它！
(via Getty Images/盖蒂图片社)

呵呵，到这里我们看到了When的精明，但是您应该更深层次地看到“嘻嚷”彩票所代表的广大商人的精明。俗话说“无奸不商”，商人是永远不会做亏本生意的，每注彩票对于彩民的预期是-0.766 RMB，反过来对于我们“嘻嚷”彩票的发行商，那就是+0.766 RMB的预期收入。所以说，什么10000 RMB的大奖，那都是逗你玩儿呢。像When这样巧合地估计到了“嘻嚷”彩票内部控制的中奖概率那才是中了"你娃今天被鸟粪击中奖"。但是走运的人毕竟少数，每天只要有1000人上当，嘻来嚷往站就会有766 RMB的预期收入。所以还是不要指望什么一夜暴富了，在一夜暴富上下赌注，只会让彩票发行商一夜暴富，对于平头老百姓来说，踏踏实实致富才是正道。

六度分隔，一定是六吗？

我们似乎离开六度分隔理论太久太久了……其实《美妙的六度分隔理论》系列本来就是Tim借“六度分隔”发挥，来侃大山的，不过现在该是回归正题的时候了。

我在上篇《偶然与必然中的哲学与科学》文末提到“在六十亿人里面随便挑一个与自己找联系，其中的中间人个数可能是1至60亿其中的任何一个。这里面“随便挑一个”和“随机的结果”都暗示了六度分隔理论本质也是一个蕴涵了“偶然与必然矛盾统一”的事物。”

六度分隔理论不是用来精确计算某两个人之间的联系度的，而是企图找出世界上六十亿人两两组合所产生的1.7999999997×10¹⁹个联系度结果的平均数，既然提到了平均数，那么这个问题就可以用概率论中数学期望的方法来研究，因为数学期望是平均值的升级版！

如果从概率论的角度出发，那么六度分隔理论的问题应该描述为：

把世界上任意两个人两两组合，求，把每一对组合中的双方通过有限的中间人联系起来的度的数学期望是多少？

接下来我们用M指代全球总人口，并且为了简化问题，我以自己为中心开始叙述。并且我们假设，每个人类个体平均相互认识（简称相识）其他S个人，注意，是相互认识！如果是单向认识，那就没有讨论没意义了！

Tim现在要和世界上另外M-1个人找联系，那么，随便在这M-1个人中抓一个出来寻找我和他之间的联系度，这个度是多少呢？很显然，从1度到M-1度都有可能，不过这不是我们想要的答案，虽然从1度到M-1度都有可能，不过这M-1个结果发生的概率是不一样（正如文章开头的正态分布曲线所示），我们想知道这M-1个度的数学期望是多少。

1度的概率

首先我们从1度这个结果的发生概率来分析。1度的情况就是在M-1个人中，抓出第一个就和Tim相识，这种情况概率是多少呢？这很简单，就跟10个球里面有3个红球，抓出第一个球就是红球的概率是3/10=30%那么简单。现在有M-1个人，根据前面“每个人类个体平均相识其他S人”，那么抓出第一个人我就相识的概率当然是S/(M-1)，于是，我们把1度发生的概率记为：

2度的概率

接下来我们来看2度，稍微复杂些，有两种情况可以产生2度的结果。

情况一：在M-1个人中抓出的第一个人和Tim虽然相识，但是接下来在剩下人中再抓出来的第二个人和Tim不相识，但是与第一个抓出来的人相识，这样Tim就通过第一个人和这第二个人联系了起来，所以度是2。这种情况发生的概率是多少呢？

首先，抓出第一个人就和Tim相识的概率前面已经讨论了，是P₁ = S/(M-1)，但是事情还没完，我们还要抓第二个人，这个人首先不能跟Tim相识，其概率为1-S/(M-1)，并且还要与第一个抓出来的人相识，其概率为S/(M-2)于是（为什么M-2，因为已经排除了不相识的Tim，所有剩下的M-2人中第一个人还认识S个人），抓第二个人满足与Tim不相识但是与第一个人相识的概率是(1-S/(M-1))×(S/(M-2))=S(M-S-1) /(M-1)M-2)。

接下来，由于是独立地连续抓两个人，因此这是一个可以利用乘法原理的概率事件。所以2度情况一发生的概率为这两个连续事件概率之积：

情况二：在M-1个人中抓出的第一个人就和Tim不相识，于是接下来在剩下的人中再抓出来的第二个人必须和Tim还有第一个人都相识，这样才能通过第二个人将Tim和这第一个人联系起来，产生2度的结果。这种情况发生的概率是多少呢？

首先，第一个人和Tim不相识的概率为1-P₁，接下来在剩下人中再抓出来的第二个人和必须同时和Tim还有第一个人相识的概率为S/(M-1)×(S-1)(M-2)（为什么是(S-1)/(M-2)，因为第二个人相识Tim后，他在剩下的M-2人中认识的人就只有S-1人），于是2度情况二发生的概率为：

2度总概率：由于情况一和情况二可以并行发生，所以适用加法原理，2度的总概率为：

3~N度的概率

说句老实话，Tim已经很努力地计算3度的概率表达式，然后企图用数学归纳法找到N度概率的表达式，怎奈告别学校，告别数学太久，又或是思维方法不对，我计算的3度概率表达式就已经达到了惊人的计算量，所以只有放弃！

欢迎有兴趣的读者出谋划策，我们继续研究下去。我相信这个N度概率的表达式P_N=F(M, S, N)在数学上是一定存在的。接下来，我们就假设这个概率表达式已经找到，继续论述。

X度分隔理论？

前面我们已经讨论了Tim与世界上其它所有人找联系所可能产生的后果事件分别发生的概率P₁~P_N，我们还知道每个事件的度分别为1~N，现在我们就可以计算Tim与世界上所有人之间联系度的数学期望E_Tim了。根据数学期望公式有：

我们看到E_Tim是一个关于M和S的函数，当然，这肯定是一个很复杂的函数，找这个函数也不是我等之辈的可以完成的，数学家们忙活了几十年也还无建树。不过就像前面提到的P_N的表达式一样，我们相信E_Tim的表达式在数学上也是一定存在的。于是我们研究的人类群体的M=60亿，曾经有社会学家给出每个人类个体平均相识S=260个人，把60亿和260带入函数，便可以计算出Tim与世界上其他所人联系度的数学期望E_Tim。

接下来，我们可以看到，在整个社会网络中，所有其他人与Tim的地位是平等的，也就是说，任意的另外一个人Bob与世界上其他人联系度E_Bob=E_Tim=E。

OK，那么我们来看人类总群体相互联系度的数学期望E_All为多少？E_All即为X度分隔理论中的X，挑中任意一个人的概率均为为P_pick=1/M：

也就是说研究X度分隔理论的X其实只用研究一个人类个体就行了，不过非常抱歉，才疏学浅的Tim无法计算出这个E是多少，所以X度分割理论的X仍然悬而未决……

六度分隔理论的实际意义

这个六度分隔理论其实不仅仅适用于人际关系，Tim觉得任何带有图性质的关系网络都可以应用，比如：计算机网络、航线和机场组成的航空网络等等。我也曾在别处与很多人讨论过六度分隔理论，大部分人的观点是这个理论没有任何实际意义，就算证明了是六又有什么用呢？

其实应用是非常多的，举一个计算机网络中的例子。整个计算机网络就是通过许多不同层级的路由节点链接起来的，正如下图（via Mr Hari Seldon）：

图中蓝色圆盘上放的白色机柜就可以看成不同层级的路由节点。您在访问嘻来嚷往时，并不是通过您的电脑直接从嘻来嚷往所在的服务器存取数据，而是经过不同层级的路由器，一步步将数据从嘻来嚷往所在的服务器转发到您的电脑中。

所以，当您发起访问嘻来嚷往的请求时，计算机网络会利用路由算法，寻找从您的电脑到嘻来嚷往所在服务器的一条路由路径，以让数据顺利传输。由于数据每经过一次路由转发，都会产生一定延时，所以路由算法会尽可能寻找一条经过路由节点最少的路径，以减少数据传输的耗时。

如果我们的六度分隔理论的“六”是正确的——把网络中任意两个节点联系起来的中间节点个数最可能为6（即数学期望是6），也就是说在上图中，路由算法应该找到绿色的这条，只经过6个路由节点的通路，而不是红色那条经过11个节点的绕行道路。可是现在计算机网络中的路由算法找到了这条最短路径吗？让我们来看看从Tim的电脑访问嘻来嚷往实际的路由路径：

Terrible! 整整经过了17个路由节点，这与6也相差太远了，也就是说现有的路由算法选择了比那条红色的还要绕道的路径。

六度理论成立的意义，就在于为人们改进现有路由算法提供了一个理论依据，以经过6个节点为首选目标进行算法优化。真希望下一次再用tracert xirang.us命令，能看到一条只经过五、六个节点的路由路径，计算机网络算法工程师们任重而道远，哈哈。

著作权信息（站外使用本文请保留以下内容）

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文章作者：Tim 原始站点：嘻来嚷往 – IF YOU SEE SOMETHING, SAY SOMETHING. 原文标题：美妙的六度分隔理论（三）——无处不在的数学期望 发表日期：2009年11月26日 原文链接：http://xirang.us/2009/11/mathematical-expectation-everywhere
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