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<<上一篇 偶然与必然中的哲学与科学

做事情切忌半途而废，今天开始继续完成这篇宏大的《美妙的六度分隔理论》系列中的第三篇。

上一篇中我们谈到了“生命的进程就是生物个体不断地在各种偶然的情况下作出必然的决定”。每个人都在时时刻刻地做着各种各样的决定：下一秒钟我该歇歇出去喝杯水再回书房来写这篇文章，下一分钟我该去网站上看看有没有新的噪音，下一小时我该去洗漱睡觉；对于国家而言，更是时时刻刻在做着关系到民族兴衰的种种决策：三十年前我们决定要搞改革开放，十年前我们要搞经济软着陆，而今天我们要用宽松的货币政策度过金融海啸（虽然这其实只是用泡沫来支撑泡沫的下下策，不过这篇文章中不谈经济）。

认识一下数学期望

读者可能会问，把一个普通黎民百姓的生活琐事和国家大策相提并论，一个是拍着脑门子下意识做决定，一个是汇集了全国的精英们用各种数字和计算来做决策，这能同日而语吗？能，当然能！在上篇中，我们曾经提到数学期望其实是平均值的升级版，其实任何决策的本质都一样——不论个人、集体还是国家，决策者总是选择实施那件对决策者自身来说数学期望最高的事情。通俗的说，数学期望就是决策者即将做的事情将会产生的所有后果事件为他带来的效益的平均值。

正态分布曲线 (via Mathematics in Trading: How to Estimate Trade Results)

先简单从数学角度来说说概率与期望。上图展示了一种自然界中最常见的随机现象——正态分布（什么是正态分布？）。其中纵轴为事件发生概率，横轴为事件产生的效益。从图中我们可以看出，某一个决策所能产生的全部事件概率之和为应该1，即100%。而该决策的数学期望为曲线与横轴包围的面积，可以看出在0刻度的左右两边是面积相等的正负两部分，所以我们不需要高等数学知识也可以得出此正态分布的数学期望为0。

这印证了上篇中我们讨论的偶然与必然的关系，偶然表现在，某决策的后果事件可能落在包含整个实数域的整条横轴上，但是越往两头的事件发生的概率越低（+4和-4以外可以称之为几乎不可能发生的小概率事件区域），必然表现在效益为0的事件有40%的发生概率（图中曲线顶点处），这个值也和该正态分布的数学期望0相吻合。如果把数学期望等同于必然，那么我们可以说，任何事情总是尽可能地朝着必然的方向去发展，但是不排除小概率偶然事件发生的可能性。我想，未雨绸缪、防患于未然，这些成语的科学根据就来自这里吧。

前一小段似乎太学术了，接下来Tim将会用生活中例子，让您理解生活中数学期望。比如说，我现在渴了但是又想继续写文章，那么我需要在去喝水和继续写文章之间做个决断。关于是否去喝水这个决策我们用快乐指数（满分100分，最低0分）来衡量它的后果事件的效益。

首先来看看去喝水所产生的各个结果的快乐指数

喝下一杯水后无外乎两种结果：

1. 不渴了——感到不渴了的概率是60%，快乐指数80，因为没能继续写文章，减掉20分；
2. 仍然有点渴——概率40%，快乐指数0，因为又没解渴，又没能继续写文章，我很郁闷。

那么数学期望是怎么计算的呢，来看下面这个很好理解的公式：

做某件事情的数学期望 = 后果1的效益 × 后果1的发生概率 + 后果2的效益 × 后果2的发生概率 + … + 后果n的效益 × 后果n的发生概率

下面我们用这个公式来计算去喝水所能带来的快乐的数学期望 Happy Drinking ：

Happy Drinking = 80 × 60% + 0 × 40% = 48

接下来我们看看继续写文章带来快乐指数的数学期望

1. 情绪高涨——继续写文章让我兴致勃勃，完全忘了口渴之事的概率是40%，快乐指数90，因为虽然没感到口渴，但还是对身体不好的，减掉10分；
2. 奄奄一息——口渴着继续写作让我身体透支的概率是60%，快乐指数10，因为虽然透支了，至少还是写了几行字，给个10分吧。

Happy Writing = 90 × 40% + 10 × 60% = 42

现在大家看到了，Happy Drinking 比 Happy Writing 高了6分，所以我立刻决定去喝水。

…………五分钟后，Tim回来了。您可以看到仅仅6分的微小差距，就促使我在刚刚的五分钟内选择了喝水而放弃了写作。我想这大概可以形容为"失之毫厘，差之千里"吧，没想到千年前的中国成语里就蕴涵了现代科学的理论。所以说作为一个炎黄子孙，理应为中华民族感到自豪，但是千万不要把这种情绪变成盲目骄傲自满，否则1840年的那场"用中国的矛，戳穿了中国的盾"的民族耻辱将会再次上演。

言归正传，可能读者您仍然觉得很纳闷儿，什么快乐指数，什么发生概率，那不都是你自己定的，这还能叫数学吗？我在这里想说的就是，数学只能给予我们公式，但是公式里的参数是需要我们自己去填补的。这就能解释为什么在同样的情况下，不同的人会作出不同的决策了，因为每个人的性格和阅历都是各异的，虽然用同一个数学期望的公式来计算，读者您用自己的数据代进去，那么说不定去喝水就是42分，继续写作就是48分，那您就会作出继续写作的决策。

彩票的阴谋

要体现出数学的魅力，那我们就再举出一个生活中再平常不过的彩票的列子吧，当然仍然和数学期望有关。

眼花缭乱的数字之后有着怎样的阴谋？(via Google Image Search)

首先为了简化问题，假设我们嘻来嚷往站今天开始发行“嘻嚷”福利彩票，本彩票单注售价2 RMB，设置五个奖项，并且控制了每个奖项的中奖率如下：

• 你娃今天被鸟粪击中奖：奖金10000 RMB，中奖率0.01%
• 你娃今天踩狗屎奖：奖金1000 RMB、中奖率0.02%
• 你娃今天鸿运当头奖：奖金100 RMB、中奖率0.03%
• 你娃今天手气不赖奖：奖金1000 RMB、中奖率0.04%
• 你娃今天无私奉献奖：奖金0 RMB、中奖率99.9%

好的，现在有一位资深彩民Who走了过来，这是一位乐观的彩民，根据他多年的博彩经验，他估计到“嘻嚷”福利彩票的中奖率为0.1%、0.3%、0.6%、1%、98%。OK，花2 RMB买彩票的后果事件无外乎就是获得本站事先设定好的五个奖项其中一项的奖金，至于每个后果发生的概率，Who也是心中有数（尽管与本站内部设定的概率稍有出入，也八九不离十了，Who是相当的资深），下面我们来看看Who心中，买一张“嘻嚷”彩票的数学期望吧：

Who的“嘻嚷”彩票的回报预期 = 10000 × 0.1% + 1000 × 0.3% + 100 × 0.6% + 10 × 1% + 0 × 98% – 2 = 11.7

注意，为什么最后要减去2，因为不管你中不中奖，这2 RMB是一定要付出的。Who觉得这个结果不错嘛，每一注"嘻嚷"彩票预期可以为他带来11.7 RMB的收入，于是高高兴兴的买了10注离开。

鉴于我们嘻来嚷往站现在越来越有名气，不一会儿又一位资深彩民When闻讯而来，估计他的博彩生涯没有什么出彩的记录，所以他相当悲观地、并且十分走运地估计到“嘻嚷”福利彩票的中奖率为0.01%、0.02%、0.03%、0.04%、99.9%（这与我们内部控制的中奖率完全吻合）。OK，来看看When心中，对于“嘻嚷”彩票的悲观期望吧：

When的“嘻嚷”彩票的回报预期 = 10000 × 0.01% + 1000 × 0.02% + 100 × 0.03% + 10 × 0.04% + 0 × 99.9% – 2 = -0.766

When非常失望，每注居然预期要倒赔0.766 RMB，太不划算了，于是他认定“嘻嚷”为垃圾彩，转身离开了。

钞票在哪里啊，钞票在哪里？钞票在那成堆的数字里。
那里有奸商啊，那里有黑贩！就不让你轻易地得到它！
(via Getty Images/盖蒂图片社)

呵呵，到这里我们看到了When的精明，但是您应该更深层次地看到“嘻嚷”彩票所代表的广大商人的精明。俗话说“无奸不商”，商人是永远不会做亏本生意的，每注彩票对于彩民的预期是-0.766 RMB，反过来对于我们“嘻嚷”彩票的发行商，那就是+0.766 RMB的预期收入。所以说，什么10000 RMB的大奖，那都是逗你玩儿呢。像When这样巧合地估计到了“嘻嚷”彩票内部控制的中奖概率那才是中了"你娃今天被鸟粪击中奖"。但是走运的人毕竟少数，每天只要有1000人上当，嘻来嚷往站就会有766 RMB的预期收入。所以还是不要指望什么一夜暴富了，在一夜暴富上下赌注，只会让彩票发行商一夜暴富，对于平头老百姓来说，踏踏实实致富才是正道。

六度分隔，一定是六吗？

我们似乎离开六度分隔理论太久太久了……其实《美妙的六度分隔理论》系列本来就是Tim借“六度分隔”发挥，来侃大山的，不过现在该是回归正题的时候了。

我在上篇《偶然与必然中的哲学与科学》文末提到“在六十亿人里面随便挑一个与自己找联系，其中的中间人个数可能是1至60亿其中的任何一个。这里面“随便挑一个”和“随机的结果”都暗示了六度分隔理论本质也是一个蕴涵了“偶然与必然矛盾统一”的事物。”

六度分隔理论不是用来精确计算某两个人之间的联系度的，而是企图找出世界上六十亿人两两组合所产生的1.7999999997×10¹⁹个联系度结果的平均数，既然提到了平均数，那么这个问题就可以用概率论中数学期望的方法来研究，因为数学期望是平均值的升级版！

如果从概率论的角度出发，那么六度分隔理论的问题应该描述为：

把世界上任意两个人两两组合，求，把每一对组合中的双方通过有限的中间人联系起来的度的数学期望是多少？

接下来我们用M指代全球总人口，并且为了简化问题，我以自己为中心开始叙述。并且我们假设，每个人类个体平均相互认识（简称相识）其他S个人，注意，是相互认识！如果是单向认识，那就没有讨论没意义了！

Tim现在要和世界上另外M-1个人找联系，那么，随便在这M-1个人中抓一个出来寻找我和他之间的联系度，这个度是多少呢？很显然，从1度到M-1度都有可能，不过这不是我们想要的答案，虽然从1度到M-1度都有可能，不过这M-1个结果发生的概率是不一样（正如文章开头的正态分布曲线所示），我们想知道这M-1个度的数学期望是多少。

1度的概率

首先我们从1度这个结果的发生概率来分析。1度的情况就是在M-1个人中，抓出第一个就和Tim相识，这种情况概率是多少呢？这很简单，就跟10个球里面有3个红球，抓出第一个球就是红球的概率是3/10=30%那么简单。现在有M-1个人，根据前面“每个人类个体平均相识其他S人”，那么抓出第一个人我就相识的概率当然是S/(M-1)，于是，我们把1度发生的概率记为：

2度的概率

接下来我们来看2度，稍微复杂些，有两种情况可以产生2度的结果。

情况一：在M-1个人中抓出的第一个人和Tim虽然相识，但是接下来在剩下人中再抓出来的第二个人和Tim不相识，但是与第一个抓出来的人相识，这样Tim就通过第一个人和这第二个人联系了起来，所以度是2。这种情况发生的概率是多少呢？

首先，抓出第一个人就和Tim相识的概率前面已经讨论了，是P₁ = S/(M-1)，但是事情还没完，我们还要抓第二个人，这个人首先不能跟Tim相识，其概率为1-S/(M-1)，并且还要与第一个抓出来的人相识，其概率为S/(M-2)于是（为什么M-2，因为已经排除了不相识的Tim，所有剩下的M-2人中第一个人还认识S个人），抓第二个人满足与Tim不相识但是与第一个人相识的概率是(1-S/(M-1))×(S/(M-2))=S(M-S-1) /(M-1)M-2)。

接下来，由于是独立地连续抓两个人，因此这是一个可以利用乘法原理的概率事件。所以2度情况一发生的概率为这两个连续事件概率之积：

情况二：在M-1个人中抓出的第一个人就和Tim不相识，于是接下来在剩下的人中再抓出来的第二个人必须和Tim还有第一个人都相识，这样才能通过第二个人将Tim和这第一个人联系起来，产生2度的结果。这种情况发生的概率是多少呢？

首先，第一个人和Tim不相识的概率为1-P₁，接下来在剩下人中再抓出来的第二个人和必须同时和Tim还有第一个人相识的概率为S/(M-1)×(S-1)(M-2)（为什么是(S-1)/(M-2)，因为第二个人相识Tim后，他在剩下的M-2人中认识的人就只有S-1人），于是2度情况二发生的概率为：

2度总概率：由于情况一和情况二可以并行发生，所以适用加法原理，2度的总概率为：

3~N度的概率

说句老实话，Tim已经很努力地计算3度的概率表达式，然后企图用数学归纳法找到N度概率的表达式，怎奈告别学校，告别数学太久，又或是思维方法不对，我计算的3度概率表达式就已经达到了惊人的计算量，所以只有放弃！

欢迎有兴趣的读者出谋划策，我们继续研究下去。我相信这个N度概率的表达式P_N=F(M, S, N)在数学上是一定存在的。接下来，我们就假设这个概率表达式已经找到，继续论述。

X度分隔理论？

前面我们已经讨论了Tim与世界上其它所有人找联系所可能产生的后果事件分别发生的概率P₁~P_N，我们还知道每个事件的度分别为1~N，现在我们就可以计算Tim与世界上所有人之间联系度的数学期望E_Tim了。根据数学期望公式有：

我们看到E_Tim是一个关于M和S的函数，当然，这肯定是一个很复杂的函数，找这个函数也不是我等之辈的可以完成的，数学家们忙活了几十年也还无建树。不过就像前面提到的P_N的表达式一样，我们相信E_Tim的表达式在数学上也是一定存在的。于是我们研究的人类群体的M=60亿，曾经有社会学家给出每个人类个体平均相识S=260个人，把60亿和260带入函数，便可以计算出Tim与世界上其他所人联系度的数学期望E_Tim。

接下来，我们可以看到，在整个社会网络中，所有其他人与Tim的地位是平等的，也就是说，任意的另外一个人Bob与世界上其他人联系度E_Bob=E_Tim=E。

OK，那么我们来看人类总群体相互联系度的数学期望E_All为多少？E_All即为X度分隔理论中的X，挑中任意一个人的概率均为为P_pick=1/M：

也就是说研究X度分隔理论的X其实只用研究一个人类个体就行了，不过非常抱歉，才疏学浅的Tim无法计算出这个E是多少，所以X度分割理论的X仍然悬而未决……

六度分隔理论的实际意义

这个六度分隔理论其实不仅仅适用于人际关系，Tim觉得任何带有图性质的关系网络都可以应用，比如：计算机网络、航线和机场组成的航空网络等等。我也曾在别处与很多人讨论过六度分隔理论，大部分人的观点是这个理论没有任何实际意义，就算证明了是六又有什么用呢？

其实应用是非常多的，举一个计算机网络中的例子。整个计算机网络就是通过许多不同层级的路由节点链接起来的，正如下图（via Mr Hari Seldon）：

图中蓝色圆盘上放的白色机柜就可以看成不同层级的路由节点。您在访问嘻来嚷往时，并不是通过您的电脑直接从嘻来嚷往所在的服务器存取数据，而是经过不同层级的路由器，一步步将数据从嘻来嚷往所在的服务器转发到您的电脑中。

所以，当您发起访问嘻来嚷往的请求时，计算机网络会利用路由算法，寻找从您的电脑到嘻来嚷往所在服务器的一条路由路径，以让数据顺利传输。由于数据每经过一次路由转发，都会产生一定延时，所以路由算法会尽可能寻找一条经过路由节点最少的路径，以减少数据传输的耗时。

如果我们的六度分隔理论的“六”是正确的——把网络中任意两个节点联系起来的中间节点个数最可能为6（即数学期望是6），也就是说在上图中，路由算法应该找到绿色的这条，只经过6个路由节点的通路，而不是红色那条经过11个节点的绕行道路。可是现在计算机网络中的路由算法找到了这条最短路径吗？让我们来看看从Tim的电脑访问嘻来嚷往实际的路由路径：

Terrible! 整整经过了17个路由节点，这与6也相差太远了，也就是说现有的路由算法选择了比那条红色的还要绕道的路径。

六度理论成立的意义，就在于为人们改进现有路由算法提供了一个理论依据，以经过6个节点为首选目标进行算法优化。真希望下一次再用tracert xirang.us命令，能看到一条只经过五、六个节点的路由路径，计算机网络算法工程师们任重而道远，哈哈。

著作权信息（站外使用本文请保留以下内容）

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文章作者：Tim 原始站点：嘻来嚷往 – IF YOU SEE SOMETHING, SAY SOMETHING. 原文标题：美妙的六度分隔理论（三）——无处不在的数学期望 发表日期：2009年11月26日 原文链接：http://xirang.us/2009/11/mathematical-expectation-everywhere
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先插一张贝叶斯的图片供大家瞻仰：

在上一篇文章里，我用贝叶斯公式对蒙蒂*霍尔问题进行了证明，在最后提出了完备性的问题。昨晚后来又和同学讨论了一下这个问题，结论是我的分类（对全体样本Ω的设定）应该是完备的 、可行的。

对完备性的讨论如下：

这样想，把整个过程看作一系列独立重复实验［指在同样条件下进行的,各次之间相互独立的一种实验］中的一次，那么对于实验的实施者（在这里是嘉宾）来说，他干的只有两件事：第一次选择，第二次选择。而在我的分类中已经把他所有可能选择的情况完整列举出来了（第一次有三种情形，第二次有两种2*3=6种），并在假定嘉宾选择完全随机的情况下，计算“第二次选择换门且中车”的概率，当它>1/2时，就应该换。

可能有人会考虑到，不是主持人还要打开一扇门吗？这对分类有没有影响？我的观点是没有。因为无论主持人开出的门背后一定是羊，之后嘉宾一定要选择，所以事实上主持人开出羊的概率都是1，嘉宾面对的情况永远是一羊一门。
那么假使我们把主持人也考虑进来，完全列举情况如下：

那么在随后计算概率时，我们考虑的关于B的样本划分仍然是中和不中两种，上述列举的每一种情况并不都是等可能的（见列表最后一项发生的概率），因而可见中的概率是1/12+1/12+1/6+1/6=3/6=1/2，即中和不中的概率P(B₁)=P(B₂)=1/2。

而对于P(A|B₁)，P(A|B₁)=P(AB₁)/P(B₁)，这里P(B₁)和我开始用的分类方法中的结果是一样的，只要再来看P(AB1)，它的结果仍然等于“换门且中车均发生的概率”，从上述分类中可以计算出“换门且中车”的概率=1/6+1/6=1/3，所以P(A|B₁)=(1/3)/(1/2)，仍然是2/3！

当然，代入计算的结果也是正确的了。

那么这里为什么假如主持人开门的因素后概率还是不变呢？因为主持人开门的法则是一定的，引入主持人相当于多做了一级的无效分类。譬如在这个问题上在加入一个“环节”，假定开门前主持人有80%的概率会抠鼻屎 :mrgreen:  ，那么我们有两种选择：

一是将这个“因素”也考虑进去，再作进一步的分类；
二是不用考虑。

常识就能告诉我们：抠鼻屎与否跟中车没有关系！这里也是一样的，多出来的一级分类实质上是考虑了“在嘉宾选中车的情况下主持人开出哪只羊”的环节，这同样对结论没有影响。

另外几种思路：

1.Felix也提到了，可以直接套用条件概率公式P(B1|A)=P(AB1)/P(A)，而且计算更为便捷。

2.不直接去求“换门后能得到车”的概率，而是考虑“换门得到车”和“换门得不到车”的概率谁大？

假如第一次选择了羊（任意一羊），那么换就必然得到车，因此换门得到车的概率就是第一次选择羊的概率，2/3；
同样，第一次选择了车，那么换就必然得不到车，这个概率是1/3。
于是我们可以得出结论，换后得到车的概率比换后得不到车的概率要大，也应该换。

3. 考虑“换门得到车”和“不换门得到车”的概率谁大？

换门要得到车必须第一次选择羊，所以概率是2/3；
不换门得到车必须第一次选择羊，所以概率是1/3。
还是应该换。

可见上述几种思路考虑要得出结论更为简单快捷，我的上一篇文章只是单纯地为了套用贝叶斯公式，并不是最简单的方法。

敏锐的读者还有更多思路吗？欢迎分享。

最后推介一篇对贝叶斯方法作深入介绍的文章，贝叶斯公式的应用可不只是证明这样的数学游戏，可以说博大精深。
文章来自刘未鹏，点这里进入这篇文章。

著作权信息（站外使用本文请保留以下内容）

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文章作者：horf 原始站点：嘻来嚷往 – IF YOU SEE SOMETHING, SAY SOMETHING. 原文标题：小科学之蒙蒂*霍尔问题——有关分类完备性的讨论和另几种思路 发表日期：2009年11月17日 原文链接：http://xirang.us/2009/11/monty-hall-problem-2
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horf我真是闲到一定程度了……

事情的起因是这样的：我订阅了科幻作者长铗老师的这一篇博客，里面对《科幻世界》上发表的《抽签佯谬》所阐述的问题做了批判性的讨论（原话是非“探讨”的），指出了抽签佯谬并不存在。于是勾起了我对文中提到的车羊问题的兴趣，百度了一下，在豆瓣上看了一个很神奇的帖子（这 个帖子里面对于这个问题的讨论荡气回肠，跌宕起伏，是我看到网络上难得的有知识氛围的地方，强烈建议前去围观），里面在各种精妙的探讨和解答之后有一位仁 兄提出“用贝叶斯公式，完破”，猛然在记忆的旮旯里找到了贝叶斯公式这个东西，于是决定跟着该仁兄指明的方向，用贝叶斯公式尝试一下，几次三番的失败之 后，经过调整思路，终于看起来完成了用贝叶斯公式对该问题的证明。现在写出来，承蒙各位不弃，想搞一搞自己的脑子的话可以一阅。

先来看这个问题：

蒙提霍尔问题（Monty Hall Problem）也称为车羊问题或三门问题，是一个源自博弈论的数学游戏问题，大致出自美国的电视游戏节目“Let’s Make a Deal”。问题的名字来自该节目的主持人蒙提·霍尔（Monty Hall）。

节目的规则是：参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇的后面有一辆汽车，选中后面有车的那扇门就可以赢得该汽车，而另外两扇门后面则各藏有一只山 羊。当参赛 者选定了一扇门，但未去开启它的时候，节目主持人会开启剩下两扇门的其中一扇，露出其中一只山羊。主持人其后会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门。

明确的限制条件如下：

1. 参赛者在三扇门中挑选一扇。他并不知道内里有什么。
2. 主持人知道每扇门后面有什么。
3. 主持人必须开启剩下的其中一扇门，并且必须提供换门的机会。
4. 主持人永远都会挑一扇有山羊的门。
5. 如果参赛者挑了一扇有山羊的门，主持人必须挑另一扇有山羊的门。
6. 如果参赛者挑了一扇有汽车的门，主持人随机在另外两扇门中挑一扇有山羊的门。
7. 参赛者会被问是否保持他的原来选择，还是转而选择剩下的那一道门。

米国某专栏作者建议参与者改变自己的决定，选择另一个未被开启的门。她认为另一个门有大奖的概率已经升为2/3。因为主持人已经开启了另一个，而参与者原来选择的门有大奖的概率仍然是1/3。所以应该更改选择。

这个结论明显是违不同于直觉的，正常人也许都会想：这不是1/2么？

我的证明如下：

贝叶斯公式是这样的，B₁，B₂,B₃…B_n为一系列互不相容事件（不可能同时发生），且B₁，B₂，B₃…B_n构成全体样本Ω（P（B₁)+P(B₂)+…+P(B_n)=1)，则对任意事件A⊂Ω，有：

P(B_i｜A)=P(B_i)P(A|B_i)/[P(A|B₁)P(B₁)+P(A|B₂)P(B₂)+...+(P(A|B_n)P(B_n)]

其中P(B_i|A)表示在A发生的条件下B_i发生的概率，以此类推。

具体到这个问题中，就是嘉宾换门（A）这一事件发生的条件下，抽中车（B₁）的概率。

由于只需考虑换门和中车这两个事件，故对全体样本Ω作如下设定：

1. 第一次选羊a，换，中
2. 第一次选羊b，换，中
3. 第一次选羊a，不换，不中
4. 第一次选羊b，不换，不中
5. 第一次选车，换，不中
6. 第一次选车，不换，中

从而按照B₁（中）,B₂（不中）的划分为

B1，中，1/2概率（注意是在已经打开一扇门二选一的前提下）

B2，不中，1/2概率

所要求的概率表达式为

P(B₁|A)=P(B₁)P(A|B₁)/[P(A|B₁)P(B₁)+P(A|B₂)P(B₂)]

接下来求P(A|B₁)和P(A|B₂)。

P(A|B₁)即在抽中的情形下之前换门的概率。依照对样本Ω的设定和条件概率公式：

P(A|B₁)=P(AB₁)/P(B₁)=中车且换门的概率/中车的概率=（2/6）/（3/6）=2/3

同理，P(A|B₂)=1/3。

代入贝叶斯公式，有：

P(B₁|A)=(1/2)(2/3)/[(2/3)(1/2)+(1/3)(1/2)]=(1/3)/(1/2)=2/3

故而所求的嘉宾换门的情形下中车的概率为2/3。

既然用贝叶斯定则证明过了，我想这个问题到此可以CLOSE了。

在豆瓣小组的这个讨论帖子里，还有关于这个问题更多精辟的见解（当然，也有错误的论述，这个帖子的LZ貌似就犯错误了XD），强烈建议各位去围观。

最后关于不完备的一点说明： 有哪位同学告诉我我上述对样本的设计（红色部分）是合理、科学的？我找不到特别好的相关论述来支持自己。

第二篇>> 小科学之蒙蒂*霍尔问题——有关分类完备性的讨论和另几种思路

著作权信息（站外使用本文请保留以下内容）

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文章作者：horf 原始站点：嘻来嚷往 – IF YOU SEE SOMETHING, SAY SOMETHING. 原文标题：小科学之蒙蒂*霍尔问题——使用贝叶斯公式的证明 发表日期：2009年11月16日 原文链接：http://xirang.us/2009/11/monty-hall-problem
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这篇文章的原题《崇拜 安藤忠雄 水之教堂 梁静茹》，Iris 同志已经问过我两次，为何这篇文章还躺在草稿箱里。唉，本来这篇文章 Tim 是准备写点建筑和音乐的，怎奈江郎才尽写到一半就写不动了。幸而今天突得灵感，让本人有了个非常好的主题继续这篇文章。接下来，一篇横跨社会学、数学、图论、计算机科学、建筑和音乐的国庆献礼大片即将上映。由于这篇文章预计垂直篇幅会达到2米，所以 Tim 决定分卷发布，一来方便阅读，二类也减轻写作负担。

Tim 曾经痴迷于 Six Degrees of Separation ——六度分隔理论（什么是六度分隔理论？）。此理论称“平均只需要六个人，就能把任何毫不相干、互不相识的两个人联系起来”。这就是所谓的“小世界理论”——即世界上的任意两个人之间平均只隔着六层人际关系的距离。也就是说，正在阅读这篇文章的读者您，Tim只需要通过另外五个人就能找到你。哈哈！所以千万不要制造不和谐的噪音，因为 the big brother is watching you ~~~

呵呵，开个玩笑先。这听起来似乎有点玄乎，比如 Tim 我和 Obama 放在一起，无论怎么生拉活扯地找五个中间人也联系不起来吧。理论中所提及的人际关系乃是指实实在在双向交往关系，所以不能简单的说 Tim 崇拜 Obama，Tim 和 Obama 之间就存在着人际关系。这很像 Twitter 的模式，比如我 follow 了李开复，每天我都能看到李开复老师发表的他和他的新公司消息。然而反观 Tim ，人微言轻的我发表的言论那就真的是“旷野的呼喊”了，李开复老师根本知道还有个 Tim 在 Twitter 上费劲地喊话。只有当李开复老师某一天在遥远的某个地方听到 Tim 的某句呐喊，并且产生了兴趣，然后 follow 了 Tim ，那么我们之间在 Twitter 上才算真正的产生了双向交往关系，才能称之为 Twiiter 上的一对朋友。

从这个角度来看，这个理论简直就是谬论。从 Tim 本人出发，直线地想下去，真的很难找出能把我和 Obama 联系起来的中间人，别说五个了，估计五百个人放在中间也联系不起来。我想读到这里的您，一定也在努力地思索您自己和某位名人的联系吧。所以 Tim 第一个要论述的观点是：

世界上任意的两个人是可以通过确定数量的中间人联系起来的

为什么找不到答案？因为您陷入了死循环的思维方式。比如 Tim 的思维过程：第一层关系我就找 Iris 吧，然后我开始找第二层关系，也就是我在想 Iris 和谁是朋友呢？一分钟之后我想到了 Iris 和 Cecil 是朋友。OK，继续，咱们来找第三层关系，Cecli 和谁是朋友呢？又一分钟之后我想到 Lisa。OK，再继续 …… 然后在经历了无数个一分钟之后，Tim 恍然大悟！虽然第二层我找到了 Cecil ，第三层我找到了 Lisa ，可是 Cecil 和 Lisa 都是和我有直接交往的人，也就是说其实 Tim 找到的 Cecil、Lisa 和 Iris 一样，都是和 Tim 有直接交往属于 Tim 人际关系网中第一层的人。所以这样找下去，可能可以找出所谓的第一百层，然而这一百人其实都位于 Tim 人际关系网的第一层中，找到所谓的第一百层只能很荣幸地说明 Tim 有一百个朋友，但根本没有触及真正的第二层人际关系。

我想，绝大多数人都陷入了这种思维模式——在熟人的交际圈里面找自己的熟人。这是一条死胡同，如果只是这样直线下去，你仅仅只能在自己的“小世界”里面搜索很有限的人际关系，这几乎无法找到答案。那么请你换个思路，试想把全世界六十亿人所形成的人际关系变成一张阡陌相通的网络，每一个人都是这个网络中的一个节点，而每两个有双向交往关系的人之间由一条通路连接着，就像下面这张图。这只是一张为表达本观点的简图，请读者自己试在脑海中勾勒六十亿人形成的这个真正的庞大的网络，网络的各个节点之间有着如蚕丝般数不清的千丝万缕的联系。

Tim 不能肯定，但是数学家可以肯定，在这个无边无际、四通八达的网络中，Tim（节点A）和 Obama（节点B）之间一定会有一条通路，至于这个通路经过了几个节点（即中间联系人个数，本图中为六个），这是 Tim 后面要论述的。

这个图中只有节点 1 与 Tim 有直接来往，剩下五个节点都是 Tim 根本不认识的。所以要想找到答案，从第二个人开始，您要找的不是这个人的朋友中与您有交往的人，而是这个人的朋友中可能跟您毫不相干的人，这样你才能真正的走出第一层。打开思路以后，Tim 还真的找到了我与 Obama 的联系。

1. Tim 曾经供职于一家著名日本企业S，我与我部门的高级经理O有着工作关系，没有私交；
2. O经理呢，直接向S企业大中华区总裁C汇报，C总裁当然也直接对O经理负责，他们有工作关系，至于私交不得而知；
3. C总裁呢，当然直接向S企业CEO H汇报，H CEO当然也直接对C经理负责，他们有工作关系，至于私交仍然不得而知；
4. 然而H CEO又是S企业前CEO N亲自任命的，工作关系肯定有了，至于私交肯定也不错吧，否则以H的背景如何在强手如云的S企业中脱颖而出；
5. 接下来，前CEO N乃日本权势家族后代，其父、岳父都与日本政治界交往颇深，而N本人也从2000年起在日本政府IT部门任要职，当然N与日本历任首相福田康夫、麻生太郎、鸠山由既夫都有工作关系，私交也不必多说，再民主的国家，私交都是政治成就的重要一环；
6. 最后，一边是日本首相，一边是美国总统。Tim 与 Obama 如何联系了起来，就不用多说了吧？

怎么样，有点不可思议吧。Tim 只用了五个中间人、六层人际关系，就沾上了 Obabma 的光。其实如果您看过了前面的链接什么是六度分隔理论？，您就会了解到，为了证明这个理论，人们已经进行了许多实验：

1. 首次用于证明该理论的连锁信实验（纪录于未注明日期论文”Results of Communication Project”）中，米尔格伦寄出六十封信给堪萨斯州威奇塔市自愿参加者，请他们转交到马萨诸塞州剑桥市某指定地点的股票经纪人。参加者只能把信交给他认为有可能把信送到目的地的熟人，可以亲自送或者通过他的朋友。虽然有50个人参与了实验，但当信传到第五个人手上时，只有三封信抵达了目的地。米尔格伦在他1967年的那篇著名论文[该论文PDF下载]中提到在最初的试验中，其中的一封信在不到四天的时间内，就被传达到了目的地，但是他却忽略了一个重要事实，那就是实际上只有不到5%的信件最终被送达了。在随后两次连锁信实验，因完成连锁的比例太低，实验结果未被发表。
2. 利用维基百科证明六度理论。原理：利用维基百科每篇条目内的链接，计算从一篇条目到另一篇条目的最少点击数。爱尔兰都柏林大学圣三一学院学生 Stephen Dolan 据此制作了维基百科六度理论查询器。这个查询器目前只适用于英语，它证明了以英文维基百科的中心是2007，并且从这个条目开始，平均只需要3.45次点击，就可以到达英文维基百科中其余的2,111,479篇条目。同时也有位中国人实验了一下，在中文维基百科上新浪到中央电视台的最短路径为3。
3. 利用MSN证明六度理论。微软的研究人员 Jure Leskovec 和 Eric Horvitz 过滤了2006年某个单一月份全球通过MSN发送的信心，利用一亿八千万名使用者的三百亿通讯息进行比对，结果发现任何使用者只要透过平均6.6人就可以和全数据库的一千八百亿组配对产生关连。高达87%的使用者在7次以内可以产生关连。

然而，三个实验中，实验样本的数量相对于全世界六十亿人来说，是微不足道，也难以让人信服的。得出六度分隔理论中6这个数字，多半也是大量经验的积累。所以 Tim 斗胆用自己所学过的知识，在下面的文章中探讨与六度分隔理论相关的一些学术问题。

>>下一篇  偶然与必然中的哲学与科学

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文章作者：Tim 原始站点：嘻来嚷往 – IF YOU SEE SOMETHING, SAY SOMETHING. 原文标题：美妙的六度分隔理论（一）——地球上的任意两个人一定能够通过有限的中间人联系起来 发表日期：2009年09月27日 原文链接：http://xirang.us/2009/09/six-degrees-of-separation-1-the-correctness
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