<<上一篇 偶然与必然中的哲学与科学

做事情切忌半途而废，今天开始继续完成这篇宏大的《美妙的六度分隔理论》系列中的第三篇。

上一篇中我们谈到了“生命的进程就是生物个体不断地在各种偶然的情况下作出必然的决定”。每个人都在时时刻刻地做着各种各样的决定：下一秒钟我该歇歇出去喝杯水再回书房来写这篇文章，下一分钟我该去网站上看看有没有新的噪音，下一小时我该去洗漱睡觉；对于国家而言，更是时时刻刻在做着关系到民族兴衰的种种决策：三十年前我们决定要搞改革开放，十年前我们要搞经济软着陆，而今天我们要用宽松的货币政策度过金融海啸（虽然这其实只是用泡沫来支撑泡沫的下下策，不过这篇文章中不谈经济）。

认识一下数学期望

读者可能会问，把一个普通黎民百姓的生活琐事和国家大策相提并论，一个是拍着脑门子下意识做决定，一个是汇集了全国的精英们用各种数字和计算来做决策，这能同日而语吗？能，当然能！在上篇中，我们曾经提到数学期望其实是平均值的升级版，其实任何决策的本质都一样——不论个人、集体还是国家，决策者总是选择实施那件对决策者自身来说数学期望最高的事情。通俗的说，数学期望就是决策者即将做的事情将会产生的所有后果事件为他带来的效益的平均值。

正态分布曲线 (via Mathematics in Trading: How to Estimate Trade Results)

先简单从数学角度来说说概率与期望。上图展示了一种自然界中最常见的随机现象——正态分布（什么是正态分布？）。其中纵轴为事件发生概率，横轴为事件产生的效益。从图中我们可以看出，某一个决策所能产生的全部事件概率之和为应该1，即100%。而该决策的数学期望为曲线与横轴包围的面积，可以看出在0刻度的左右两边是面积相等的正负两部分，所以我们不需要高等数学知识也可以得出此正态分布的数学期望为0。

这印证了上篇中我们讨论的偶然与必然的关系，偶然表现在，某决策的后果事件可能落在包含整个实数域的整条横轴上，但是越往两头的事件发生的概率越低（+4和-4以外可以称之为几乎不可能发生的小概率事件区域），必然表现在效益为0的事件有40%的发生概率（图中曲线顶点处），这个值也和该正态分布的数学期望0相吻合。如果把数学期望等同于必然，那么我们可以说，任何事情总是尽可能地朝着必然的方向去发展，但是不排除小概率偶然事件发生的可能性。我想，未雨绸缪、防患于未然，这些成语的科学根据就来自这里吧。 挺有意思，往下瞧瞧 »

先插一张贝叶斯的图片供大家瞻仰：

在上一篇文章里，我用贝叶斯公式对蒙蒂*霍尔问题进行了证明，在最后提出了完备性的问题。昨晚后来又和同学讨论了一下这个问题，结论是我的分类（对全体样本Ω的设定）应该是完备的 、可行的。

对完备性的讨论如下：

这样想，把整个过程看作一系列独立重复实验［指在同样条件下进行的,各次之间相互独立的一种实验］中的一次，那么对于实验的实施者（在这里是嘉宾）来说，他干的只有两件事：第一次选择，第二次选择。而在我的分类中已经把他所有可能选择的情况完整列举出来了（第一次有三种情形，第二次有两种2*3=6种），并在假定嘉宾选择完全随机的情况下，计算“第二次选择换门且中车”的概率，当它>1/2时，就应该换。

挺有意思，往下瞧瞧 »

horf我真是闲到一定程度了……

事情的起因是这样的：我订阅了科幻作者长铗老师的这一篇博客，里面对《科幻世界》上发表的《抽签佯谬》所阐述的问题做了批判性的讨论（原话是非“探讨”的），指出了抽签佯谬并不存在。于是勾起了我对文中提到的车羊问题的兴趣，百度了一下，在豆瓣上看了一个很神奇的帖子（这 个帖子里面对于这个问题的讨论荡气回肠，跌宕起伏，是我看到网络上难得的有知识氛围的地方，强烈建议前去围观），里面在各种精妙的探讨和解答之后有一位仁 兄提出“用贝叶斯公式，完破”，猛然在记忆的旮旯里找到了贝叶斯公式这个东西，于是决定跟着该仁兄指明的方向，用贝叶斯公式尝试一下，几次三番的失败之 后，经过调整思路，终于看起来完成了用贝叶斯公式对该问题的证明。现在写出来，承蒙各位不弃，想搞一搞自己的脑子的话可以一阅。

先来看这个问题：

蒙提霍尔问题（Monty Hall Problem）也称为车羊问题或三门问题，是一个源自博弈论的数学游戏问题，大致出自美国的电视游戏节目“Let’s Make a Deal”。问题的名字来自该节目的主持人蒙提·霍尔（Monty Hall）。

节目的规则是：参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇的后面有一辆汽车，选中后面有车的那扇门就可以赢得该汽车，而另外两扇门后面则各藏有一只山 羊。当参赛 者选定了一扇门，但未去开启它的时候，节目主持人会开启剩下两扇门的其中一扇，露出其中一只山羊。主持人其后会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门。

明确的限制条件如下：

1. 参赛者在三扇门中挑选一扇。他并不知道内里有什么。
2. 主持人知道每扇门后面有什么。
3. 主持人必须开启剩下的其中一扇门，并且必须提供换门的机会。
4. 主持人永远都会挑一扇有山羊的门。
5. 如果参赛者挑了一扇有山羊的门，主持人必须挑另一扇有山羊的门。
6. 如果参赛者挑了一扇有汽车的门，主持人随机在另外两扇门中挑一扇有山羊的门。
7. 参赛者会被问是否保持他的原来选择，还是转而选择剩下的那一道门。

米国某专栏作者建议参与者改变自己的决定，选择另一个未被开启的门。她认为另一个门有大奖的概率已经升为2/3。因为主持人已经开启了另一个，而参与者原来选择的门有大奖的概率仍然是1/3。所以应该更改选择。

这个结论明显是违不同于直觉的，正常人也许都会想：这不是1/2么？

我的证明如下：

贝叶斯公式是这样的，B₁，B₂,B₃…B_n为一系列互不相容事件（不可能同时发生），且B₁，B₂，B₃…B_n构成全体样本Ω（P（B₁)+P(B₂)+…+P(B_n)=1)，则对任意事件A⊂Ω，有：

P(B_i｜A)=P(B_i)P(A|B_i)/[P(A|B₁)P(B₁)+P(A|B₂)P(B₂)+...+(P(A|B_n)P(B_n)]

其中P(B_i|A)表示在A发生的条件下B_i发生的概率，以此类推。

具体到这个问题中，就是嘉宾换门（A）这一事件发生的条件下，抽中车（B₁）的概率。

由于只需考虑换门和中车这两个事件，故对全体样本Ω作如下设定：

1. 第一次选羊a，换，中
2. 第一次选羊b，换，中
3. 第一次选羊a，不换，不中
4. 第一次选羊b，不换，不中
5. 第一次选车，换，不中
6. 第一次选车，不换，中

从而按照B₁（中）,B₂（不中）的划分为

B1，中，1/2概率（注意是在已经打开一扇门二选一的前提下）

B2，不中，1/2概率

所要求的概率表达式为

P(B₁|A)=P(B₁)P(A|B₁)/[P(A|B₁)P(B₁)+P(A|B₂)P(B₂)]

接下来求P(A|B₁)和P(A|B₂)。

P(A|B₁)即在抽中的情形下之前换门的概率。依照对样本Ω的设定和条件概率公式：

P(A|B₁)=P(AB₁)/P(B₁)=中车且换门的概率/中车的概率=（2/6）/（3/6）=2/3

同理，P(A|B₂)=1/3。

代入贝叶斯公式，有：

P(B₁|A)=(1/2)(2/3)/[(2/3)(1/2)+(1/3)(1/2)]=(1/3)/(1/2)=2/3

故而所求的嘉宾换门的情形下中车的概率为2/3。

既然用贝叶斯定则证明过了，我想这个问题到此可以CLOSE了。

在豆瓣小组的这个讨论帖子里，还有关于这个问题更多精辟的见解（当然，也有错误的论述，这个帖子的LZ貌似就犯错误了XD），强烈建议各位去围观。

最后关于不完备的一点说明： 有哪位同学告诉我我上述对样本的设计（红色部分）是合理、科学的？我找不到特别好的相关论述来支持自己。

第二篇>> 小科学之蒙蒂*霍尔问题——有关分类完备性的讨论和另几种思路

<<上一篇 地球上的任意两个人一定能够通过有限的中间人联系起来

相信阅读完上一篇文章，您一定对“六度分隔理论”有了一定程度的认识，说不定自己也小试身手跟某位名人联系了一把。从这一节开始，我们要深入浅出地讨论一些与该理论相关的学术问题，比如把”任意两个人联系起来的度（即中间人数量）一定是六吗？”、”如何用科学的方法更快速的找出联系任意两个人的通路？”

不过开始前首先要说的是，如果读者您是文科生、艺术生，千万不要被吓回去了。Tim 会结合生活中的实例和大家高中都学过的基础数学知识，深入浅出地，像斯蒂芬.霍金给大家讲述宇宙、时间、空间的关系那样，把枯燥的理论问题娓娓道来。

偶然与必然，这个魅力无穷的话题

平均值的概念，我想大家从小学一年级就有了吧，然而您可能不知道在高等数学分支——概率论和随机过程中，它有着更深奥的含义和一个更酷的名字——数学期望。科学理论是很严谨的，所以六度分隔理论的提法是“平均只需要六个人”。既然理论中使用了平均值这个属于概率论范畴的概念，那么六度分隔理论实际上是可以用概率论和随机过程来研究的。举个例子，Tim 和 Iris 联系度是1，Tim 和 Obama 的是6，然而 Tim 和金正日同志的度可能会高达1000，那么难道六度理论就错了吗？完全不是，概率论所研究和证明的对象是”偶然中的必然“，如果以”必然中的偶然“来断定理论的正确与否，那就是片面的科学了。

从这里开始，请允许 Tim 暂时离开六度分隔理论，谈谈本人对于偶然和必然的一些认识。概率论并不是想告诉我们只有必然才是正确的，偶然永远谬误。偶然是必然的表现形式，必然则是隐藏在偶然后面的自然规律。就比如说读者您，您的父母在多少年前的某年某月某日某时某分某秒恩爱了一下，然后上亿小蝌蚪中的某一只在马拉松赛跑中脱颖而出，有幸遇上了那个等待已久的黄花大闺女，并且与她双归双宿爱的温床，然后，十个月后你就这样非常偶然地来到了这个世界。换个角度，对您的父母来说，除非他们患有不孕不育症或者决定丁克到底，那么生育出一个后代是显而易见必然的事情。所以说，您这个偶然的产物便是您父母必然会有的后代的一个表现形式，如果您有兄弟姐妹，他们仍然和你一样，都是偶然与必然的统一体。

上帝玩不玩骰子，爱因斯坦很纳闷

难道上帝也玩弄骰子吗？

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这篇文章的原题《崇拜 安藤忠雄 水之教堂 梁静茹》，Iris 同志已经问过我两次，为何这篇文章还躺在草稿箱里。唉，本来这篇文章 Tim 是准备写点建筑和音乐的，怎奈江郎才尽写到一半就写不动了。幸而今天突得灵感，让本人有了个非常好的主题继续这篇文章。接下来，一篇横跨社会学、数学、图论、计算机科学、建筑和音乐的国庆献礼大片即将上映。由于这篇文章预计垂直篇幅会达到2米，所以 Tim 决定分卷发布，一来方便阅读，二类也减轻写作负担。

Tim 曾经痴迷于 Six Degrees of Separation ——六度分隔理论（什么是六度分隔理论？）。此理论称“平均只需要六个人，就能把任何毫不相干、互不相识的两个人联系起来”。这就是所谓的“小世界理论”——即世界上的任意两个人之间平均只隔着六层人际关系的距离。也就是说，正在阅读这篇文章的读者您，Tim只需要通过另外五个人就能找到你。哈哈！所以千万不要制造不和谐的噪音，因为 the big brother is watching you ~~~

呵呵，开个玩笑先。这听起来似乎有点玄乎，比如 Tim 我和 Obama 放在一起，无论怎么生拉活扯地找五个中间人也联系不起来吧。理论中所提及的人际关系乃是指实实在在双向交往关系，所以不能简单的说 Tim 崇拜 Obama，Tim 和 Obama 之间就存在着人际关系。这很像 Twitter 的模式，比如我 follow 了李开复，每天我都能看到李开复老师发表的他和他的新公司消息。然而反观 Tim ，人微言轻的我发表的言论那就真的是“旷野的呼喊”了，李开复老师根本知道还有个 Tim 在 Twitter 上费劲地喊话。只有当李开复老师某一天在遥远的某个地方听到 Tim 的某句呐喊，并且产生了兴趣，然后 follow 了 Tim ，那么我们之间在 Twitter 上才算真正的产生了双向交往关系，才能称之为 Twiiter 上的一对朋友。

从这个角度来看，这个理论简直就是谬论。从 Tim 本人出发，直线地想下去，真的很难找出能把我和 Obama 联系起来的中间人，别说五个了，估计五百个人放在中间也联系不起来。我想读到这里的您，一定也在努力地思索您自己和某位名人的联系吧。所以 Tim 第一个要论述的观点是：

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